Modelos matemáticos en ciencias sociales

Objetivo didáctico

Al terminar esta ficha serás capaz de sintetizar y evaluar modelos matemáticos de fenómenos sociales, utilizando sistemas dinámicos, redes, modelos epidemiológicos y dinámica de poblaciones para distinguir entre mecanismo, predicción y simplificación cuando analices problemas colectivos como movilidad, contagio, segregación, difusión de información o crecimiento poblacional.

Introducción

Modelar una sociedad parece, a primera vista, una empresa imposible. Una colonia de bacterias puede describirse mediante unas cuantas variables fisiológicas; una población humana incorpora instituciones, memoria, cultura, desigualdad, incentivos, expectativas, normas, redes familiares y decisiones estratégicas. Además, las propias personas modifican su conducta cuando conocen una predicción. Un pronóstico de congestión puede hacer que algunos conductores cambien de ruta; una proyección epidemiológica puede provocar medidas preventivas que impidan que la proyección llegue a cumplirse.

Precisamente por esa complejidad, las matemáticas sociales no intentan incorporar todo. Construyen representaciones selectivas. Algunas describen cantidades agregadas mediante ecuaciones; otras representan personas o instituciones como nodos conectados; otras simulan agentes que siguen reglas locales. El propósito puede ser predecir, pero también explicar un mecanismo, identificar condiciones suficientes para que aparezca un patrón, explorar escenarios imposibles de experimentar directamente o descubrir qué información sería necesario recopilar.

Esta forma de pensar tiene consecuencias prácticas en América Latina. La propagación de una infección en transporte urbano, la difusión de rumores por grupos digitales, la expansión periférica de una ciudad, la concentración de oportunidades laborales o la presión sobre servicios públicos pueden estudiarse con modelos. Sin embargo, utilizar una ecuación en Ciudad de México, Guadalajara, Bogotá o Buenos Aires exige preguntar qué heterogeneidades sociales fueron comprimidas dentro de un promedio.

El recorrido comienza con la lógica general del modelado de sistemas sociales. Después incorpora grafos y redes para abandonar el supuesto de que todas las personas interactúan por igual; utiliza el modelo SIR para analizar contagios; examina la dinámica de poblaciones y el surgimiento de comportamiento complejo a partir de reglas simples; y termina con una cuestión epistemológica: cuándo un modelo deja de ser una herramienta de comprensión y empieza a producir una falsa sensación de control.

La idea transversal será exigente: un modelo no debe juzgarse sin conocer la pregunta para la que fue construido. Un mapa del Metro no sirve para calcular la superficie de cada alcaldía, pero eso no lo convierte en un mal mapa. Elimina distancias, edificios y relieves porque conserva otra estructura: estaciones y conexiones. El modelado matemático funciona de forma semejante. La simplificación deja de ser una debilidad cuando sabemos qué conserva y qué sacrifica.

Desarrollo del tema

Modelar sistemas sociales: de una pregunta a un mecanismo

Todo modelo empieza con una operación de reducción. Frente a un fenómeno con cientos de características posibles, el investigador selecciona cuáles se transformarán en variables de estado, cuáles serán parámetros y qué relaciones se considerarán dinámicamente relevantes. Si se estudia segregación residencial, por ejemplo, pueden ignorarse inicialmente ingresos, edad, arquitectura y distancias laborales para concentrarse únicamente en ubicación, grupo y preferencias de vecindad. Esa reducción sería inaceptable para responder muchas preguntas, pero puede ser extremadamente productiva para una pregunta concreta: ¿pueden decisiones locales moderadas generar patrones colectivos intensos?

Thomas Schelling examinó esta cuestión en su trabajo sobre segregación publicado en 1971. Sus modelos mostraron que la configuración agregada de una población no permite deducir de manera simple las motivaciones individuales. Personas que no buscan una separación total pueden, mediante decisiones locales acumuladas, producir una distribución espacial mucho más segregada que sus preferencias originales. El resultado modificó la forma de pensar la relación entre comportamiento micro y estructura macro (Schelling, 1971).

La lección matemática es profunda. En un sistema social, una regla local puede producir una propiedad global que ninguna unidad individual pretendía crear. Por ello, “el sistema hizo X” no significa necesariamente que exista un actor central planificando X. Congestión, burbujas informativas, segregación o escasez temporal pueden emerger de interacciones. El modelo permite ejecutar mentalmente miles de consecuencias que la intuición lineal suele perder.

En México, imagine una zona metropolitana en la que cada hogar prefiera vivir a menos de 30 minutos de su trabajo y cerca de servicios semejantes a los que ya utiliza su red familiar. Ninguna regla menciona segregación socioeconómica. Sin embargo, si empleo, transporte, precio de vivienda y redes familiares están espacialmente correlacionados, las decisiones individuales pueden reforzar concentraciones territoriales. Un modelo no demostraría que ese mecanismo sea la causa real, pero permitiría preguntar qué patrones produciría si efectivamente operara.

Una práctica avanzada consiste en escribir antes de calcular una frase de la forma: “Este modelo intenta explicar X mediante el mecanismo Y, ignorando provisionalmente Z”. Esa frase obliga a reconocer el alcance del instrumento. Si después el modelo reproduce un patrón, se habrá aprendido que el mecanismo propuesto puede producirlo; todavía faltará demostrar empíricamente cuánto contribuye ese mecanismo en el sistema real.

Redes y grafos: cuando importa quién está conectado con quién

Muchos modelos agregados suponen implícitamente que cualquier individuo puede interactuar con cualquier otro. Las redes sustituyen esa idea por una estructura explícita. Un grafo contiene nodos —personas, hogares, organizaciones, estaciones, municipios— y aristas que representan relaciones. Las aristas pueden ser dirigidas, como seguir una cuenta en una red social; no dirigidas, como una relación recíproca simplificada; o ponderadas, cuando se incorpora frecuencia, intensidad o capacidad.

El problema de los siete puentes de Königsberg, resuelto por Leonhard Euler en 1736, suele considerarse un punto fundacional de la teoría de grafos. Euler demostró que para decidir si era posible recorrer cada puente una sola vez no era necesario conservar distancias, edificios o geometría urbana: bastaba representar masas de tierra como nodos y puentes como conexiones. Es un ejemplo temprano de la potencia de abstraer la estructura correcta y descartar información visualmente llamativa pero matemáticamente irrelevante.

Dos cantidades básicas cambian la lectura de una red. El grado cuenta las conexiones de un nodo; la distancia geodésica registra el menor número de pasos que separa dos nodos. A ellas pueden añadirse centralidad, densidad, modularidad y agrupamiento. En una red de difusión, una persona con muchas conexiones puede acelerar la propagación, pero también puede ser crucial alguien con pocas conexiones que funciona como puente entre dos comunidades poco conectadas.

Watts y Strogatz demostraron en 1998 que muchas redes pueden ocupar un espacio intermedio entre una malla perfectamente regular y una red completamente aleatoria. Al introducir relativamente pocos atajos en una estructura local, las distancias medias pueden reducirse de manera sustancial mientras permanece un alto agrupamiento. Esta arquitectura de “mundo pequeño” ayuda a comprender por qué información, rumores, innovaciones o patógenos pueden atravesar rápidamente conjuntos donde la mayoría de los vínculos siguen siendo locales (Watts & Strogatz, 1998).

En la vida cotidiana, una lista de 1,000 personas no contiene la misma información que una red de 1,000 personas. Si las conexiones se concentran dentro de escuelas, familias, centros laborales y líneas de transporte, el patrón de difusión dependerá de esos puentes. Por eso una política que actúa sobre “el individuo promedio” puede funcionar de manera diferente cuando la estructura real contiene comunidades, hubs y vínculos altamente desiguales.

El modelo SIR: convertir una epidemia en flujos entre estados

El modelo epidemiológico SIR divide una población en tres compartimentos: S, susceptibles; I, infectados capaces de transmitir; y R, retirados del proceso de transmisión, habitualmente por recuperación con inmunidad bajo la versión elemental. El cambio temporal depende de dos procesos fundamentales: nuevas infecciones y salidas del estado infeccioso. Una formulación clásica utiliza β para la tasa efectiva de transmisión y γ para la tasa de recuperación.

William O. Kermack y A. G. McKendrick publicaron en 1927 su trabajo fundamental sobre epidemias. Entre sus resultados estaba la existencia de condiciones umbral: no toda introducción de una infección genera automáticamente una gran epidemia. El comportamiento depende de la relación entre transmisión, recuperación y disponibilidad de susceptibles. También mostraron algo menos intuitivo: una epidemia puede terminar sin haber agotado por completo la población susceptible (Kermack & McKendrick, 1927).

En la formulación moderna básica, el número reproductivo inicial suele expresarse como R₀ = β/γ bajo supuestos normalizados y homogéneos. Si R₀ es mayor que 1 en una población completamente susceptible, una infección introducida puede crecer inicialmente; si permanece por debajo de 1, cada caso produce en promedio menos de un nuevo caso y la cadena tiende a extinguirse. El umbral es una propiedad del modelo y sus supuestos, no una constante biológica aislada de las condiciones sociales.

En una gran ciudad mexicana, sin embargo, las personas no mezclan sus contactos uniformemente. Un estudiante que utiliza dos líneas de transporte, asiste a clases presenciales y vive con cinco familiares tiene una estructura de interacción distinta de una persona que trabaja desde casa. Edad, ocupación, vivienda, movilidad y desigualdad modifican exposición y vulnerabilidad. Un SIR homogéneo puede capturar la lógica del umbral y de la curva epidémica, pero puede fallar al ubicar quién soportará el mayor riesgo.

Ahí aparece la conexión con redes: los compartimentos indican en qué estado se encuentra una persona, mientras que un grafo puede especificar con quién puede entrar en contacto. Un modelo más complejo no siempre será mejor, pero la comparación entre ambos revela qué pregunta exige heterogeneidad. Si interesa una trayectoria agregada preliminar, SIR puede bastar; si interesa intervenir en nodos, comunidades o rutas concretas, la estructura de contactos puede ser decisiva.

Dinámica de poblaciones: cuando una ecuación simple deja de comportarse de forma simple

Un modelo elemental de crecimiento supone que el cambio de una población es proporcional a su tamaño: cuantos más individuos existen, mayor es el número potencial de nuevos individuos. Esta lógica produce crecimiento exponencial y puede ser adecuada durante periodos breves. Pero recursos, territorio, alimento, empleo, vivienda o capacidad de infraestructura introducen restricciones. La ecuación logística incorpora esa limitación mediante una capacidad de carga y reduce el crecimiento al aproximarse a ella.

La versión discreta puede escribirse como x_t+1 = r x_t(1 − x_t). Aparentemente es una regla mínima: un estado futuro, un estado presente y un parámetro r. Sin embargo, el comportamiento cambia radicalmente cuando se modifica ese único parámetro. Para ciertos valores converge hacia un equilibrio; después aparecen oscilaciones periódicas y duplicaciones de periodo; finalmente surgen regiones de comportamiento caótico.

Robert May convirtió esta observación en una advertencia científica influyente en 1976: modelos de primer orden extremadamente sencillos pueden generar desde puntos estables hasta ciclos y fluctuaciones aparentemente aleatorias (May, 1976). La historia es importante porque durante mucho tiempo se asumió intuitivamente que un comportamiento irregular requería una causa igualmente irregular. La dinámica no lineal mostró que esa correspondencia puede romperse.

En ciencias sociales, la analogía debe usarse con cuidado. Una ciudad no es una población de insectos y una economía no es una ecuación logística. Sin embargo, la lección metodológica es transferible: observar oscilaciones, crisis o variación irregular no demuestra por sí mismo que el sistema esté siendo golpeado continuamente por perturbaciones externas. Parte de esa variabilidad podría surgir de retroalimentaciones internas.

Imagine una población urbana cuya expansión aumenta demanda de vivienda; la demanda eleva precios; los precios desplazan hogares hacia la periferia; la expansión periférica incrementa costos de transporte y modifica nuevamente decisiones residenciales. Cada vínculo puede ser comprensible por separado, pero la retroalimentación completa puede generar trayectorias no intuitivas. El modelador debe preguntar entonces no solo “¿cuánto crecerá?”, sino también “¿qué estructura de retroalimentación produce este comportamiento?”.

Los límites del modelado: simplificación, incertidumbre y poder

El mayor peligro de un modelo matemático no es que sea simple. Es que sus simplificaciones se vuelvan invisibles. Cada modelo contiene decisiones acerca de quién existe en la representación, qué variables cuentan, qué mecanismos se permiten y qué resultados se consideran relevantes. Cuando una población heterogénea se sustituye por un “individuo promedio”, diferencias relacionadas con edad, género, territorio, ingreso o acceso a servicios pueden desaparecer de la estructura matemática aunque sigan determinando consecuencias reales.

También debe distinguirse entre ajuste, explicación y predicción. Un modelo puede reproducir datos históricos porque posee suficientes parámetros sin haber identificado el mecanismo correcto. Otro puede explicar elegantemente por qué aparece un patrón y, sin embargo, ser mediocre para predecir la fecha exacta de un evento. Epstein (2008) recuerda que predecir es solo uno entre numerosos motivos científicos para modelar. Exigir predicción precisa a todo modelo elimina buena parte de su valor exploratorio; aceptar cualquier explicación porque “el modelo funciona” cae en el error contrario.

Existe además el problema de reflexividad. Los planetas no leen modelos astronómicos y modifican su órbita, pero las personas sí reaccionan a clasificaciones, pronósticos y políticas. Si un modelo identifica un barrio como zona de alto riesgo crediticio, esa clasificación puede modificar inversiones posteriores y contribuir a producir las condiciones que decía describir. En sistemas sociales, el modelo puede convertirse en parte del sistema modelado.

La validación debe ser plural. Se pueden comparar predicciones con datos no utilizados para calibrar, examinar sensibilidad a parámetros, estudiar casos extremos, comprobar si las unidades y escalas son coherentes y contrastar las implicaciones con conocimiento sustantivo. Un modelo sensible a un parámetro desconocido exige cautela distinta de uno cuyas conclusiones sobreviven a amplios rangos plausibles.

Finalmente, modelar es también intervenir políticamente en qué se vuelve visible. Una ecuación para optimizar tiempos de traslado puede minimizar el promedio y empeorar el trayecto de quienes viven en zonas periféricas. El resultado matemático podría ser correcto respecto de su función objetivo y discutible respecto del valor social elegido. Las matemáticas no eliminan ese conflicto: permiten formularlo con mayor precisión.

Revise ahora distintas fuentes de incertidumbre. La intención no es tratarlas como una lista de defectos, sino reconocer qué tipo de pregunta exige cada una.

El criterio avanzado no es buscar un modelo sin supuestos —eso es imposible— sino construir modelos cuyos supuestos sean inspeccionables. Una conclusión responsable adopta una forma condicional: “si esta representación de contactos es razonable y estos parámetros permanecen dentro de este rango, entonces esperamos este comportamiento”. Esa frase parece menos contundente que una predicción absoluta, pero científicamente contiene mucha más información.

Conclusión

El objetivo era aprender a sintetizar y evaluar modelos matemáticos de sistemas sociales, y la clave para hacerlo es distinguir representación, mecanismo y realidad. Un grafo conserva relaciones; un SIR conserva flujos epidemiológicos entre estados; una ecuación de población conserva una regla dinámica; un modelo de agentes conserva decisiones locales. Ninguno contiene “la sociedad completa”. Cada uno funciona como una lente construida para volver visible una estructura específica.

Esta perspectiva cambia también la forma de evaluar resultados. Un patrón simulado no prueba por sí mismo una causa; una predicción acertada no valida automáticamente todos los supuestos; un modelo complejo no supera necesariamente a uno simple; y un modelo que falla al predecir puede seguir siendo valioso para descubrir mecanismos, formular preguntas o identificar datos faltantes. La habilidad avanzada consiste en preguntar qué inferencia es legítima dado aquello que el modelo incluyó y aquello que dejó fuera.

Las ciencias sociales hacen que esta prudencia sea especialmente importante porque los sistemas estudiados reaccionan, aprenden y cambian. Las personas no son partículas intercambiables y las instituciones transforman las reglas del juego. Por eso el futuro del modelado social no consiste únicamente en construir modelos más grandes, sino en hacer más explícita la relación entre matemática, evidencia, incertidumbre y decisiones humanas.

Actividad de aprendizaje autónoma

Producto esperado: ficha de un modelo social mínimo. Seleccione un fenómeno colectivo cercano y construya una representación deliberadamente sencilla. La meta no es anticipar el futuro con precisión, sino demostrar que puede justificar cada decisión de modelado y reconocer qué conclusiones quedarían fuera de alcance.

Puede trabajar con difusión de información en un grupo, uso de transporte, adopción de una tecnología, movilidad entre zonas, crecimiento poblacional, transmisión de una infección hipotética o cualquier fenómeno no sensible que permita distinguir estados, actores o interacciones.

1. Formule una sola pregunta que su modelo intentará responder.
2. Defina el sistema y su frontera: qué unidades forman parte del modelo y cuáles quedan fuera.
3. Seleccione entre 2 y 5 variables o estados esenciales. Justifique por qué cada uno es necesario.
4. Decida si necesita una ecuación agregada, una red/grafo, compartimentos tipo SIR o reglas individuales de agentes.
5. Escriba las reglas de cambio. Puede usar ecuaciones, flechas, pseudocódigo o reglas verbales precisas.
6. Proponga al menos tres valores plausibles para uno de sus parámetros y anticipe cómo debería cambiar el resultado.
7. Identifique dos supuestos fuertes y describa qué podría ocurrir si cada uno fuera falso.
8. Escriba una conclusión condicional: qué permitiría aprender el modelo y qué no podría demostrar.

Complete el generador con las dos decisiones que deberían encabezar su ficha. El resultado produce una declaración de alcance que puede copiar y colocar al inicio del miniinforme.

Reflexión final: si su modelo reproduce exactamente el patrón observado en los datos reales, ¿qué evidencia adicional necesitaría antes de afirmar que el mecanismo incorporado en el modelo es realmente la causa del fenómeno?