Orden y equivalencia

Existen varias cosas que descubrir si analizamos bien las fracciones.

En primer término, si comparamos dos fracciones -y dependiendo del caso-, podríamos determinar que:

– La primera es mayor que la segunda.
– La primera es menor que la segunda.
– La primera es equivalente con la segunda.

Una forma de establecer dichas relaciones es mediante la ubicación de las fracciones en la recta numérica. Así podemos entender con facilidad que:

– La fracción que está más cerca del 0 es menor.
– Las fracciones equivalentes ocupan el mismo lugar en la recta numérica.

Productos cruzados

Hay un procedimiento matemático que nos permite obtener de manera muy rápida la relación que te explicamos antes. Se trata de lo que se conoce como » productos cruzados «. Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el numerador de la segunda por el denominador de la primera.

Amplificación

Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural. Esta operación no cambia ni el valor ni la ubicación en la recta de dicha fracción.

Analicemos el ejemplo 5/3

Amplificaremos 5/3 por 6. Entonces

De la posibilidad de multiplicar una fracción por cualquier número natural es posible concluir que, podemos obtener, de una sola fracción, infinitas fracciones equivalentes.

Simplificación

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural. La condición necesaria para ello es que el numerador y el denominador sean múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.

Cuando no podemos simplificar una fracción, decimos que se trata de una fracción irreductible.

Observa los siguientes ejemplos:

a) 6 / 8

6 es múltiplo de 2 , y 8 también.

6 : 2 = 3 y 8 : 2 = 4 , nos queda 6 / 8 = 3 / 4.

6 / 8 se puede simplificar.

b) 10 / 7

10 es múltiplo de 2, 5 y 10, pero 7 no es múltiplo de ninguno de ellos. Por lo tanto, 10 / 7 es una fracción irreductible.

Amplificar y simplificar fracciones son pasos muy necesarios para resolver operaciones entre ellas.

La amplificación nos sirve para ordenar más de dos 2 fracciones. Si tenemos que ordenar tres o más fracciones, debemos fijarnos en sus denominadores. Aquí se nos presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales, no hay problema. Será mayor la fracción que tenga el numerador mayor.

Por ejemplo:

6/15, 3/15, 17/15, 4/15, 29/15

Ordenadas de menor a mayor quedan así:

3/15 < 4/15 < 6/15 < 17/15 < 29/15

b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Esta operación se realiza recurriend a la tabla del Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) -que aprendimos en una ocasión anterior-, que pasará a ser la tabla del Mínimo Común Denominador.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8

Con los denominadores 3, 6 y 8 hacemos la tabla y obtenemos como M.C.M. al 24. A continuación, debemos obtener una fracción equivalente para cada una de las anteriores, pero con denominador 24.

Observemos que el denominador 3 se multiplicó por un número para convertirse en 24. Ese número es 8. Entonces, el numerador también se multiplicará por 8 para obtener la fracción equivalente por amplificación. Eso nos da:

2/3=16/24

Lo mismo haremos con 5/8, que queda equivalente con 15/24 ; y con 1/6, que equivale a 4/26.

Ahora tenemos que ordenar 16 / 24 , 4 / 24 y 15 / 24 . Quedan así:

4 / 24 15 / 24 16 / 24 , todas con el mismo denominador.

Pero el resultado final lo tendremos ordenando las fracciones originales según nos pidieron, utilizando para ello la relación de equivalencia. este queda así:

1 / 6 < 5 / 8 < 2 / 3