Estructuras algebraicas
Una estructura algebraica está constituida por un conjunto dado y una o más operaciones definidas en él o que lo vinculan con otro conjunto.
Principales estructuras algebraicas
– Grupo, dado un conjunto Z y definida una operación debe cumplir:
1) Ley de composición interna, aplicando la operación* el resultado pertenece al conjunto dado
2) Es asociativa
3) Existe elemento neutro y es único
4) Existe elemento inverso con respecto a la operación
1. 3+5=8;8∈Z
2. 4+5+8+3=20
4+5+8+3=20
3. 13+0=13
4. 3;-3
El conjunto de los números enteros es una estructura de grupo.
5) Es conmutativa
5. 3+5+6=14
6+3+5=14
El conjunto de los números enteros es un grupo conmutativo o abeliano.
– Anillo, Dado un conjunto A en el que se definen dos operaciones que son * y ∘ debe cumplirse:
1) Ley de composición interna
2) Es asociativa
3) Existe elemento neutro que es único
4) Existe elemento inverso con respecto a*
5) Es conmutativa
∘
6) Ley de composición interna
7) Es asociativa
La operación ∘ es distributiva con respecto a*.
Ejemplo:
a) 17+(-8)=9 e) (-3)+7+4=8
9∈Z 7+4+(-3)=8
b) 7+(-2)+4=9 f) (-3)°2=-6
[7+(-2)]+4=9 -6∈Z
c) -3+0=-3 g) 2 ° 5 ° 9=90
d) 9;-9 (2 ° 5) ° 9=90
El conjunto de los números enteros con las operaciones de adición y multiplicación tienen estructura de anillo.
– Cuerpo, dado un conjunto Q y definida en él las operaciones * y °
1) Ley de composición interna.
2) Es Asociativa
3) Existe elemento neutro, que es único.
4) Existe elemento inverso con respecto a*
5) Es conmutativa
°
6) Ley de composición interna
7) Es Asociativa
8) Existe elemento neutro, que es único.
9) Existe elemento inverso con respecto a°
10) Es conmutativa
La operación ° es distributiva con respecto a °
El conjunto de los números racionales con las operaciones de adición y multiplicación tiene estructura de cuerpo.
Ejemplo
La multiplicación es distributiva con respecto a la suma
