Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, que deben admitir simultáneamente las mismas raíces, forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Método de sustitución
Ejemplo:
Cuando en una de las ecuaciones tiene coeficiente fraccionario, se elimina los denominadores, quedando ecuaciones lineales enteras.
Se saca el 2 denominador común: 
El divisor 2 pasa como factor: 12x-1y=2
El sistema queda:
12x-y=2 (1)
11x+y=7 (2)
Solución
Para obtener y:
Remplazando:
Para obtener x:
12x-y=2 (1)
-y=2-12x
y=-2+12x
Remplazando:
Verificación:
Método de igualación
Se trabaja paralelamente con las dos ecuaciones. Se despeja en ambas la misma incógnita, quedando dos igualdades con un miembro igual; entonces el otro también lo es.
Se despeja x:
Se despeja y:
(7+12y)∙5=(3-y)∙3
El divisor pasa como factor: 35+10y=9-3y
Agrupando en un miembro los términos independientes y en otro los que tienen incógnita:
10y+3y=9-35
13y=-26
Comparando a y b, se obtiene
Método por reducción por suma o resta
Mediante la suma o la resta de las ecuaciones, se elimina una de las incógnitas. Para eliminar una de las incógnitas, ésta tiene que tener el mismo coeficiente, si no tiene el mismo coeficiente, se multiplica una de ellas o las dos ecuaciones por un factor o distintos factores, de modo tal que queden los términos de las incógnitas iguales.
Se suma o restan las ecuaciones para anular la incógnita.
Ejemplo:
Como los coeficientes de las x son iguales y del mismo signo, para que se eliminen, se restan las 2 ecuaciones miembro a miembro.
Se despeja y: 
Se multiplica por (-1)
y=-2
Para elimina la incógnita se multiplica la ecuación (2) por el factor 2, para que los coeficientes de la incógnita queden iguales.
Método de determinantes
La matriz de segundo orden está formada por 4 números, que son sus elementos a,b,c,d,
Siendo las líneas horizontales a,b y c,d las filas y las líneas verticales a,c y b,d las columnas.
De acuerdo con la cantidad de filas y columnas, se determina el orden del determinante, que es un número real obtenido de la diferencia entre el producto de los elementos de una diagonal (a∙d) y el producto de los elementos de la otra diagonal (b∙c).
Ejemplo:
Para hallar x:
Para hallar y:
Verificación:
Se cumple la igualdad.
Método gráfico
– Se construyen las tablas de valores de cada una de las ecuaciones
– Se representa en el plano, en un par de ejes cartesianos ortogonales. El punto de intersección de las dos rectas determina la solución del sistema.
– Obtener el valor de x trazando una perpendicular al eje x y el valor de y, trazando una paralela al eje y.
Ejemplo:
Se despeja y para construir las tablas de valores:
Verificación:
Se cumple la igualdad.
